PROCEEDINGS OF SPIE
`
`SPIEDigitalLibrary.org/conference-proceedings-of-spie
`
`(cid:50)(cid:83)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:68)(cid:91)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:71)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:87)
`(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:68)(cid:86)(cid:83)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:85)(cid:73)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:3)(cid:79)(cid:72)(cid:81)(cid:86)(cid:72)(cid:86)(cid:29)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:92)
`(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:92)(cid:86)(cid:76)(cid:86)
`
`(cid:36)(cid:69)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:46)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:80)(cid:15)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:89)(cid:76)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:75)(cid:72)(cid:68)(cid:79)(cid:92)
`
`(cid:36)(cid:69)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:48)(cid:17)(cid:3)(cid:46)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:80)(cid:15)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:89)(cid:76)(cid:71)(cid:3)(cid:47)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:75)(cid:72)(cid:68)(cid:79)(cid:92)(cid:15)(cid:3)(cid:5)(cid:50)(cid:83)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:68)(cid:91)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:71)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
`(cid:68)(cid:86)(cid:83)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:85)(cid:73)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:3)(cid:79)(cid:72)(cid:81)(cid:86)(cid:72)(cid:86)(cid:29)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:92)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:92)(cid:86)(cid:76)(cid:86)(cid:15)(cid:5)(cid:3)(cid:51)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:51)(cid:44)(cid:40)(cid:3)(cid:21)(cid:21)(cid:25)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:88)(cid:85)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:87)
`(cid:39)(cid:72)(cid:89)(cid:72)(cid:79)(cid:82)(cid:83)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:50)(cid:83)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:50)(cid:83)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:40)(cid:81)(cid:74)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:44)(cid:57)(cid:15)(cid:3)(cid:3)(cid:11)(cid:22)(cid:19)(cid:3)(cid:54)(cid:72)(cid:83)(cid:87)(cid:72)(cid:80)(cid:69)(cid:72)(cid:85)
`(cid:20)(cid:28)(cid:28)(cid:23)(cid:12)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:82)(cid:76)(cid:29)(cid:3)(cid:20)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:20)(cid:20)(cid:26)(cid:18)(cid:20)(cid:21)(cid:17)(cid:20)(cid:27)(cid:27)(cid:19)(cid:22)(cid:20)
`(cid:40)(cid:89)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:29)(cid:3)(cid:54)(cid:51)(cid:44)(cid:40)(cid:10)(cid:86)(cid:3)(cid:20)(cid:28)(cid:28)(cid:23)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:54)(cid:92)(cid:80)(cid:83)(cid:82)(cid:86)(cid:76)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:50)(cid:83)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:44)(cid:80)(cid:68)(cid:74)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
`(cid:44)(cid:81)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:20)(cid:28)(cid:28)(cid:23)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:68)(cid:81)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:74)(cid:82)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:36)(cid:15)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:86)
`
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)(cid:3)(cid:3)(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`1
`
`APPLE 1017
`
`

`

`Optical performance of axial gradient and aspheric surface lenses:
`study and analysis
`
`Abed M. Kassim
`
`Al-Quds University, College of Science and Technology, Department of Physics
`P.O. Box 20002, Jerusalem, West Bank
`
`David L. Shealy
`
`The University of Alabama at Birmingham, Departmentof Physics
`1300 University Boulevard, Birmingham, Alabama 35294-1170
`
`ABSTRACT
`
`Using the caustic merit function for plane waves incident upon a singlet lens, a comparison between the optical
`performance of the lens using an axial gradient index with spherical surfaces or aspheric surfaces with constant
`index material has been investigated. Results indicate that the use of an inhomogeneous medium for the lens
`material is moreeffective in the controlling aberrations than the use of aspheric surfaces for a similar lens.
`
`1. INTRODUCTION
`
`In lens design, the aberrations of an optical system can be controlled by using of aspheric surfaces! or using
`an inhomogeneous medium? between the surfaces of the optical system. Sands® has shownthat the contributions
`of an axial gradient index (GRIN) to the third order aberrations of an optical system are equivalent to those of
`aspheric surfaces. However, it has been expected that inhomogeneous media would be moreeffective in some
`cases for controlling aberrations than the use of aspheric surfaces when higher order aberrations are considered.
`Attempts* have been made to produce axial GRIN lens designs which have a comparable optical performance
`with an aspheric surfaces lens. These efforts have been hampered by the lack of optical design software which is
`capable of calculating the fifth and higher order aberration coefficients for the GRIN lens. As a result, the lens
`designer has not been able to study the effect of using GRIN materials on aberrations correction and balancing.
`
`In this paper, a comparison between the effectiveness of axial GRIN materials and aspheric surfaces for
`controlling aberrations has been studied for the case of plane waves incident upon a singlet lens. Using the
`caustic merit function (CMF),® twolens designs, which have the same backfocal length as thatofaninitiallens,
`are produced. Thefirst design is an axial GRIN lens with spherical surfaces, and the second design is an aspheric
`surfaces lens with constant index media. The optical performance of each design has been evaluated as a function
`of the lens parametersto arrive at an optimum design that has a minimum value of the average value of the CMF.
`
`0-8194-1587-1/94/$6.00
`Downloaded From:https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`SPIE Vol. 2263 / 33
`
`2
`
`

`

`Starting with the parameters of the initial lens, the refractive index of the lens material is varied linearly along
`the optic axis of the lens while the other parameters (the radii of curvature of the surfaces and the back focal
`length) are kept constant. Then, values of the CMF are averaged over the entire entrance pupil and the average
`CMF is evaluated as a function of the GRIN parameter to reach the optimum axial GRIN design. Similarly, the
`optimum design of an aspheric lens has been obtained by variation of the aspherical deformation coefficients® of
`the spherical surfaces of the initial lens while the other parameters (refractive index, thickness, and the back focal
`length) are kept constant. In a computational program, all the deformation coefficients® of both surfaces of the
`lens are varied until a minimum value of the average CMF is achieved. This study has not addressed the issue of
`whether these designs represent global minima of the CMF andother optical merit functions.
`
`The optical performanceof the initial lens (homogeneouslens), the axial GRIN lens, the aspheric surfaces lens,
`and the axial GRIN lens given in Ref.
`[4] has been evaluated and compared for a wide rangeoffield angles, using
`the average CMF and the RMS?ofblurcircle radius. Also, for these lenses, the ray aberrations are evaluated
`and compared over the range of the entrance pupil radius by using the CMF.
`
`2. THEORETICAL ANALYSIS
`
`In general, tracing a single ray through an axial GRIN lensor an aspheric lens can be used to derive a formula
`for evaluating the irradiance or energy flux density®° along the path of this ray. Then,
`this formula can be
`employed to evaluate the caustic surface configurations at the focal plane of such a lens. The mathematical
`procedures for the derivation of the flux flow formula and the CMF are summarized below.
`
`2.1. Ray Trace Procedures
`
`2.1.1. Axial GRIN Lens
`
`Consider a ray incident at the boundary surface, S;, of an axial GRIN lens (see Fig. 1), which has a refractive
`index profile as
`
`(1)
`n(2) = no(1- a2),
`where mg is the refractive index at the vertex of the first surface of the lens, a@ is the gradient index parameter,
`and z-axis is the optic axis of the lens. Then, the solution of the ray equation!® in the axial GRIN medium gives
`the ray path which is expressed as
`
`*d
`
`r= 00+f a
`v=w+af T
`
`* dz
`zo
`
`(2)
`(3)
`
`where po and qo are the optical directioncosines of the rayas it leaves the surface S, and (20, yo, 20) are the initial
`coordinates of the incident point. Since n is a function of z alone, the optical direction cosines of the refracted ray
`through the axial GRIN inedium, p and q,are invariant along the path of this ray. That is, p = po and q = qo.
`Also, the optical direction of this ray in the z direction, /, can be expressed as
`U= (n?(z) — p? — q?)/? = (n?(z) — pp — 45)!”
`
`(4)
`
`Combining Eqs. 1-4 and carrying out the integration gives
`
`e=2o+ (po/noe) In QO,
`y = yo + (qo/noa) In Q,
`
`(5)
`(6)
`
`34 / SPIE Vol. 2263
`Downloaded From:https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Terms of Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`3
`
`

`

`=
`
`
`caustic sheet
`
`
`
`
`Figure 1: Schematic diagram for a ray trace in an axial GRIN lens.
`
`where
`
`|
`
`©
`
`(2V 22 + bz + c+ 22 +6) /(24/ 23 + bz +04 229 +8),
`(np — po — 99) /(noa)”,
`—2/a.
`
`The intersection point of the ray with the second surface of the lens, Sp, and the optical direction cosines of
`this ray, A(s), just before this boundary, are specified by the use of a numerical ray trace technique.!! ‘Then, the
`optical directional cosines of the emergentray, as it leaves the second surface are specified by the use of the laws
`of refraction.}?
`
`2.1.2. Aspheric Surface Lens
`
`Consider a rotationally symmetric aspheric surface of an equation which is expressed as!*
`
`X(s,¢) =teosd + jsing + kA(s),
`
`(7)
`
`where
`
`Z(s
`
`cs”
`
`= Te Via
`s? =z? +y?, and c is the vertex radius of curvature, ¢ is the polar coordinate angle measured from the positive
`x-axis, and the numerical coefficients (e, f, g, and h) are the aspherical deformation constants, and the term
`O(s!”) stands for the rest of the termsin the series which are neglected in these numerical calculations.
`
`test+ fs t+gs? +hs? + O(s!?),
`
`In this study, only meridional rays are considered. Then, following the mathematical description given in Ref.
`[13], (see Eqs. 6-20 , Chap. 4), the incident ray is brought fairly close to the point where the ray actually crosses
`
`Downloaded From: https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Terms of Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`SPIE Vol. 2263/35
`
`4
`
`

`

`the aspheric surface S;(see Fig. 4-2, Ref. [13]). Next, one considers the refraction process at this point and uses
`Eqs. 21-39 in Ref.
`[13] to compute the optical direction cosines of the refracted ray as it leaves the S; toward
`the second surface S2. Similarly, the same procedures are repeated to determine the intersection point of the ray
`with S> and the optical direction cosines of the emergent ray from this surface.
`
`2.2 Caustic Merit Function
`
`The configurations of the caustic surfaces® in the image plane of a singlet lens can be specified throughout
`the use of the flux flow equation? which represents the illuminance associated with each traced ray through such
`a lens. For an axial GRIN lens and an aspheric surfaces lens, the mathematical descriptions for the derivation of
`the CMF are summarized below
`
`2.2.1. Axial GRIN Lens
`
`[9]) is obtained from theinitial direction of the
`The input to the flux density formula (see Eq. 28 in Ref.
`incident rays, the equations of the lens surfaces, the equations of the geodesic in the axial GRIN lens, and the
`intersection points of the traced rays with the surfacesof the lens (see Fig. 1). Since the caustic surfaces represents
`the loci of singularities of the flux density,!* then equating the denominator of Eq. 28 in Ref.
`[9] to zero gives the
`distancesalong the emergent ray, r; and r,, from the intersection point of this ray with S_ to the caustic points,
`X; and Xs, 1in the tangential and sagittal planes respectively (see Fig. 1):
`
`X; = X(2) +1: B,
`X, = X(2)+r, 8,
`
`(8)
`(9)
`
`where B is a unit vector along the emergent ray and X (2) is the position vector of the intersection point of this
`ray with the second surface of the lens. Following the notation given in Ref.
`[5], the CMF is expressed as
`
`CMF =| Xi— Xz |+| Xs - X;|,
`
`(10)
`
`where Xx} is the position vector of the paraxial image.
`
`2.2.2. Aspheric Surfaces Lens
`
`To derive the CMF for a meridional ray which is traced through an aspheric surfaces lens, the mathematical
`description given in Ref.
`[15] has been used to specify the values of r; and r,. Then, the use of Eqs. 8-10 specifies
`the value of CMF.
`
`3. Results and Analysis
`
`The parameters of both optimized designs, the axial GRIN and the aspheric surfaces lens, and a comparison
`between the optical performance of these designs with that of the initial lens are presented below.
`
`36 / SPIE Vol. 2263
`Downloaded From: https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Terms of Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`5
`
`

`

`3.1. Optimized Axial GRIN Lens
`
`A singlet spherical surface lens of a constant refractive index is considered as a trial lens. The paramteres of
`this lens are: surface curvatures 2.126026 and 21.45789 cm~, thickness 0.6 cm, and a refractive index 1.877091.
`Then, the refractive index is varied linearly along the optical axis (see Eq. 1) while the back focal length, fs, is
`kept constant. For an axial GRIN lens, @ can be expressed in termsof the other parameters of the lens as follows
`
`fo = f(1- (na - 1erd*),
`
`(11)
`
`where
`
`1/f = c1(ng — 1) — co(ng — 1) + c1c0(mo — 1)(ma — 1)a",
`dad = In(l—ad)/(ano),
`nq = no(l—ad),
`
`c; and cp are the surface curvatures of the lens and d its thickness. Then, expanding In(1 — wd) to the third
`order!® and rearranging the terms of Eq. 11 gives a quadratic equation of a as
`
`a*( fos) + afory2 — wd? /2) + (for + pd —1) =0,
`
`(12)
`
`where
`
`3 == —d*c1¢9(no — 1)/2,
`y2 = —Nocod + Ci c2(n3 = 1) d?/(2no),
`y1 = (no — 1)(er +c +.1€2(no + 1)d/no),
`b= (no — 1)e1/no.
`
`In the optimization program, the value of d is varied and Eq. 12 is solved for the corresponding value of a.
`Then, the corresponding values of CMF are averaged over the entire area of the entrance pupil of radius 1.3 cm.
`For plane waves incident on the lens, the average CMFis evaluated as a function of a (see Fig. 2). Results show
`that the average CMFhas a minimum value for a = 0.10887 cra~' and d=0.5408 cm. This value of a is nearly
`equal to that value given in Ref.
`[4].
`
`3.2. Optimized Aspheric Surfaces Design
`
`In this study, the effect of the deformation of the lens surface on the caustic merit function has been investigated
`for the plane waves incident upon the lens. The average CMF i: evaluated as a functionofthefirst deformation
`coefficient, e, of the surface 5; while the other deformation coefficients of both lens surfaces are equated to zero
`(see Fig. 3). Referring to this figure, the average CMFhas a minimum value for e =-0.0075. To obtain the final
`optimized design, all the deformation coefficients of both lens surfaces have been varied at the same time in the
`computational program. The parameters of the optimized aspheric surfaces design are given in Table 1, where
`the reader should be reminded that extensive efforts have not been put forth in this study to establish whether
`these optimized lenses represent systems with a global minimafor the CMFand other optical merit functions.
`
`3.3. Comparison of Optical Performance of Optimized Designs
`
`To compare the optical performance of these lenses, the values of CMF are averaged over the entire area of
`the entrance pupil. For plane waves incident uponthe following lenses:
`theinitial, the optimized axial GRIN, the
`
`Downloaded From:https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`SPIE Vol. 2263 / 37
`
`6
`
`

`

`
`
`soeSs9a8a8AVERAGECAUSTICMERITFUNCTIONCM) 9 S
`
`
`
`
`
`
`To
`0.05
`8.18
`0.15
`8.20
`0.25
`e.38
`GRADIENT INDEX PARAMETER (1/cm)
`
`Figure 2: Average CMF as a function of the GRIN parameter.
`
`FIRST ASPHERIC SURFACE
`
`8.78
`
`8888AVERAGECAUSTICMERITFUNCTION 8
`
`
`
`
`
`8.10
`
`6.00
`-8.015
`
`9.005
`2.000
`- 9,005
`-8.018
`FIRST DEFORMATION COEFFICIENT
`
`8.018
`
`Figure 3: Average CMFas a functionofthefirst deformation coefficient of thefirst surface on the lens.
`
`38/ SPIE Vol. 2263
`Downloaded From: https:/Awww.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Terms of Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`7
`
`

`

`
`Surface
`
`2.126026|21.457898
`-0.0075
`-0.0030
`-0.00016
`0.0022
`-0.00030
`-0.0004
`-0.0016
`-0.0001
`0.6
`2.302234
`1.877091
`
`Table 1: Parameters of optimized asheric surfaces lens.
`
`1.00
`2988 8.20
`
`
`ss9©»8§8&8CAUSTICMERITFUNCTION(CM)
`
`HOMOGENEOUS LENS
`1
`ENS
`3 AXIAL GRIN LENS
`--- LENS GIVEN IN REF. [4]
`
`ae
`
`8.88
`2.40
`RAY HEIGHT AT INPUT PLANE (CM)
`
`1.28
`
`Figure 4: Comparison of the CMF as a function of the ray height at the entrance pupil.
`
`optimized aspheric surfaces, and the axial GRIN lens given in Ref. [4], the values of average CMF are 0.44337,
`0.06201, 0.07942, and 0.08914, respectively. This shows that the optimized axial GRIN has the smallest value of
`the average CMF when comparedto other lenses in the group. Figure 4 presents the values of CMF as a function
`of the ray height at the entrance pupil for the group of lenses. Comparedto the other lenses in the group, these
`results show that the axial GRIN lens has the smallest values of the CMF over the range of the entrance pupil
`radius. Figure 5 displays the values of the average CMFas a function offield angles. Through the rangeoffield
`angle 0 - 20°, these results show that the optimized axial GRIN lens has much smaller values of average CMF than
`the optimized aspheric lens or initial lens and has similar performance as the GRIN lens reported in Ref.[13].
`
`‘To investigate the ray distribution at the focal plane of the lens, the values of RMS blur circle radius are
`compared as a function of the field angles in Fig. 6. Results show that the use of axial GRIN optimization
`technique has reduced the values of RMSoftheinitial lens by 50% and 23% for the incident angles 0 and 20°,
`respectively, while the use of aspheric surfaces optimization technique has reduced the values of RMS by 23.7%
`and 12.8% for the same field angles. Figure 6 also shows that the values of RMSare very similar for the optimized
`axial GRIN lens and the GRINlens given in Ref.[4].
`
`Downloaded From:https:/Avww.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`SPIE Vol. 2263 / 39
`
`8
`
`

`

`12
`
`ASPHERIC LEN
`3 AXIAL GRIN LENS
`DOTS= R. N. PFISTERER LENS.
`
`
`
`
`AVERAGECAUSTICMERITFUNCTION(CM>rNNV»88888
`° 8 .08
`
`5.00
`
`15.00
`10.08
`FIELD ANGLE (DEG.>
`
`20:00
`
`25.00
`
`Figure 5: Comparison of average CMFas a function offield angles.
`
`8.23
`
`HOMOGENEOUS LENS
`1
`2 ASPHERIC LENS
`3 AXIAL GRIN LENS
`>--
`
`LENS GIVEN IN REF.[4] 8.28
`
`5.00
`
`15.00
`18.08
`FIELD ANGLE ( DEG.)
`
`20.00
`
`25.08
`
`Figure 6: Comparison of RMSblurcircle radius as a function offield angles.
`
`40 / SPIE Vol. 2263
`Downloaded From: https:/Awww.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Terms of Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`9
`
`

`

`4. CONCLUSION
`
`Theresults of this study indicate that the caustic surfaces and the associated CMF, which represents spread of
`the image of the optical system from the ideal focal point of the system whenall orders of geometrical aberrations
`are considered, are useful methodsfor optimizing the imaging performance of a GRINlens with spherical surfaces
`and
`a constant index lens with aspherical surfaces. Further, this study suggest that an axial GRIN lens provides
`bett
`er optical performance than an aspherical lens with constant index media.
`
`5.REFERENCES
`
`. G. G. Slyusarev, Aberration and Optical Design Theory
`Chap. 9.
`
`(Adam Hilger Ltd, Bristol, England, 1984),
`
`. D. T. Moore,“ Design of singlet with continuously varying indices ofrefractions,” J. Opt. Soc. Am. 61, 886
`(1971).
`
`P. J. Sands,“ Third order aberrations of inhomogeneouslenses,” J. Opt. Soc. Am. 60.11, 1436-1443 (1976).
`
`R. N. Pfisterer,“ Design of a 35-mm photographic objective using axial GRIN materials,” Proc. SPIE 2000,
`359-365 (1993).
`,
`
`A. M. Kassim, D. L. Shealy and D. G. Burkhard, “ Caustic merit function for optical design,” Appl. Opt. 28.3,
`601-606 (1989).
`
`A. Nussbaum and R. A. Phillips, Contemporary Optics for Scientists and Engineers (Prentice-Hall, Inc.,
`Englewood Cliffs, New Jersey, 1976), Chap. 3.
`
`. T. H. Jamieson, Optimization Techniques in Lens Design (American Elsevier Publishing Company, New
`York, 1971), pp. 16-20.
`
`D. G. Burkhard and D.