PROCEEDINGS OF SPIE
`
`SPIEDigitalLibrary.org/conference-proceedings-of-spie
`
`(cid:54)(cid:76)(cid:80)(cid:83)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:20)(cid:27)(cid:19)(cid:82)(cid:3)(cid:73)(cid:76)(cid:72)(cid:79)(cid:71)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:89)(cid:76)(cid:72)(cid:90)(cid:3)(cid:41)(cid:16)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:16)
`(cid:86)(cid:78)(cid:92)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:80)(cid:72)(cid:85)(cid:68)
`
`(cid:61)(cid:72)(cid:79)(cid:77)(cid:78)(cid:82)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:71)(cid:85)(cid:72)(cid:76)(cid:70)
`
`(cid:61)(cid:72)(cid:79)(cid:77)(cid:78)(cid:82)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:71)(cid:85)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:15)(cid:3)(cid:5)(cid:54)(cid:76)(cid:80)(cid:83)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:20)(cid:27)(cid:19)(cid:82)(cid:3)(cid:73)(cid:76)(cid:72)(cid:79)(cid:71)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:89)(cid:76)(cid:72)(cid:90)(cid:3)(cid:41)(cid:16)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:16)(cid:86)(cid:78)(cid:92)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:80)(cid:72)(cid:85)(cid:68)(cid:15)(cid:5)(cid:3)(cid:51)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:51)(cid:44)(cid:40)
`(cid:20)(cid:24)(cid:19)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:81)(cid:82)(cid:89)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:3)(cid:50)(cid:83)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:51)(cid:75)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:77)(cid:88)(cid:74)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:50)(cid:83)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:3)(cid:11)(cid:20)(cid:3)(cid:50)(cid:70)(cid:87)(cid:82)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:20)(cid:28)(cid:28)(cid:20)(cid:12)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:82)(cid:76)(cid:29)
`(cid:20)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:20)(cid:20)(cid:26)(cid:18)(cid:20)(cid:21)(cid:17)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:23)(cid:21)
`(cid:40)(cid:89)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:29)(cid:3)(cid:40)(cid:38)(cid:50)(cid:23)(cid:3)(cid:11)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:43)(cid:68)(cid:74)(cid:88)(cid:72)(cid:3)(cid:10)(cid:28)(cid:20)(cid:12)(cid:15)(cid:3)(cid:20)(cid:28)(cid:28)(cid:20)(cid:15)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:43)(cid:68)(cid:74)(cid:88)(cid:72)(cid:15)(cid:3)(cid:49)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:86)
`
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)(cid:3)(cid:3)(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`APPLE 1016
`
`1
`
`

`

`A simple 180° field of view F-theta all-sky camera
`
`Zeljko Andreic¢
`
`IME dept.
`Institute "Ruder Boskovicé",
`Bijeniéka 54, 41000 Zagreb, Yugoslavia
`
`ABSTRACT
`
`in
`used
`All-sky cameras with field of view (FOV) of 180° are
`simplest
`several astronomical and terrestrial applications.
`In it’s
`form,
`such a camera consists of a simple photographic camera which
`photographs
`the image of the sky reflected in a
`spherical mirror.
`This design is attractive due to it’s comparatively low cost as’
`the
`spherical mirror has very relaxed tolerances on surface
`shape
`and
`accuracy. However,
`the image such a camera produces
`suffers
`from
`angular distortion near
`the
`edge of
`the
`image.
`If
`instead a
`spherical mirror
`an
`aspherical one is used,
`it
`is possible
`to
`eliminate
`angular distortion and_
`to obtain constant
`angular
`magnification over
`the whole
`180° FOV.
`The derivation of
`the
`differential equation of
`the required aspherical surface is outlined
`and
`the
`results
`of
`numerical
`integration of
`the
`equation are
`described.
`
`1. ALL-SKY CAMERA
`
`applications
`The name "all-sky camera" origins in astronomical
`of special cameras capable of photographing the whole visible sky at
`once.
`Such
`cameras have field of view (FOV) of
`180
`and
`produce
`circular
`ima es
`on
`the film or plate. They are,
`used
`for meteor
`photography ’~, atmospheric phenomena photography
`and probably for
`several other specialized applications. Specialized 180°
`FOV lenses,
`the
`so
`called fish-eye lenses, are obtainable.
`They
`are usually
`expensive, big and vulnerable due to very large, exposed, front
`lens
`surface. Because of that, old and simple versions of
`such
`cameras
`are still attractive, at
`least for amateurs.
`In its simplest
`form,
`such
`simple
`camera
`is
`composed
`of
`an, grdinary small
`format
`photographic camera and a spherical mirror
`’
`Camera looks into the
`image
`of
`the sky produced by the mirror at greatly reduced
`angular
`scale,
`thus making it possible to photograph the whole visible sky
`with ordinary camera optics. The camera is held above the mirror
`by
`
`
`a tripod or similar construction. Such a simple_camera system can
`cover
`very
`large
`FOV,
`even greater than
`180°,
`if
`needed.
`The
`spherical mirror
`need
`not be very accurate
`one,
`and
`even_-
`such
`imperfect mirrors as christmas-tree decorations and car
`hubs were
`successfully used™~’
`A concave mirror can also be used, but
`in this
`case the image of the sky is in front of
`the mirror,
`thus
`requiring
`
`0-8194-0609-0/91 /$4.00
`
`SPIE Vol. 1500 Innovative Optics and Phase Conjugate Optics (1991) / 293
`
`DownloadedFrom: https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use:https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`2
`
`

`

`larger separation between the mirror and the camera.
`their
`forms
`In usual case of objects at infinity,
`the mirror
`in its focal plane, and the camera looks at this image. This
`image
`that
`the camera must be focused to that,
`relatively close,
`means
`image. And,
`as the image surface is curved,
`the camera
`lens must
`have adequate depth of
`the focus for the whole image,
`from center to
`the
`edge. This implies that
`larger separations between
`camera
`and
`mirror are more favorable. Closing the lens can improve the depth of
`level
`the
`focus,
`but this is not a popular measure in
`low light
`applications, as is case in astronomy. And last, but not least,
`the
`of
`the
`angular
`size of
`the camera image (the camera is in
`front
`mirror!)
`is
`reduced as the camera is moved farther away
`from the
`mirror.
`Images produced by such a camera always show a silhouette of
`the
`camera and camera support
`in the image, but, as the
`silhouette
`not
`a
`eccupies
`relatively small area of
`the image,
`it is usually
`problem in most applications.
`Design of such a camera is well described in ref. 4, and I will
`quote only a few simple formulas, derived from paraaxial
`equations.
`If we have a camera with given lens and image size, we can
`compute
`angular size of
`the largest circular image that fits into this image
`size.
`In our case it is wise to keep the image about 20% smaller,
`to
`compensate for focusing the lens. There is no need to calculate’
`the
`of
`the
`effect
`of
`focusing exactly, as in the final stage the size
`image is adjusted by changing the separation between the camera
`and
`the mirror a little. The linear image sizes used for calculations in
`this article are shown on the Fig.
`1.
`The angular FOV of the camera alone (COV)
`known formula
`
`is given by the well-
`
`COV = 2 * arctan(r/f)
`
`(1)
`
`the image circle, as defined on
`is useful semi-diameter of
`r
`where
`As
`the
`the Fig. 1., and f
`is the focal
`length of
`the camera lens.
`image
`of
`the sky, which covers the whole 180° must fit
`inside
`the
`camera
`FOV, we
`calculate
`the necessary angular magnification
`(actually reduction) which convex mirror must produce:
`
`M’ = COV/180
`
`(2)
`
`the relation between
`image formulas,
`using paraaxial
`by
`‘Now,
`(d)
`and
`the
`radius
`separation of
`the
`camera and the mirror
`curvature of
`the convex mirror (R)
`is found to be
`
`the
`of
`
`R= 2¥*d/(M-1)
`
`with
`
`M=1/M’
`
`(3)
`
`(4)
`
`The sketch of such a camera is shown on the Fig. 2.
`
`294 / SPIE Vol. 1500 Innovative Optics and Phase Conjugate Optics (1991)
`
`Downloaded From:https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use: https://Awww.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`3
`
`

`

`55 to 82mm
`
`camera lens
`
`
`
`
`
`
`
` E
`
`GY
` x* Doel:JLOOD Vs
`
`
`
`ru22mm
`
`mirror
`
`by
`produced
`image
`1:
`Figure
`is
`camera
`all-sky
`the
`available
`the
`inscribed
`in
`image area. Examples are given
`for the two most commonly used
`film formats,
`the
`24x36
`mm
`(Leica) and the 55x55-55x82 mm
`(6x9) film formats.
`
`Figure 2: geometry of a simple
`all-sky camera. Note that
`the
`ray paths are
`reversed,
`thus
`simplifying analysis
`of
`the
`system.
`The
`camera
`lens
`is
`placed at T.
`
`In paraaxial approximation such a camera has constant
`magnification M, so that
`
`angular
`
`B=M*a,
`
`(5)
`
`this simple relation is not valid for larger angles, and
`In reality,
`suffers from angular distortion in outer parts
`of
`the
`the
`camera
`is illustrated on the Fig. 3. Camera for which
`eq.
`5.
`image,
`as
`holds for all
`image angles,
`is sometimes called "F-theta" camera.
`
`2. F-THETA ALL SKY CAMERA WITH ASPHERICAL MIRROR
`
`reduction
`produces
`that spherical mirror
`seen
`have
`We
`in
`angular magnification when image angles approach 90. By
`using
`an
`aspherical mirror
`it
`is possible to
`keep
`angular magnification
`constant,
`even for very large image angles, well over 90°.
`I will
`outline
`the derivation of
`the equation of
`the
`required aspherical
`surface. The geometry of
`the problem is shown on the Fig. 4.
`
`DownloadedFrom: https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Terms of Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`SPIE Val. 1500 Innovative Optics and Phase Conjugate Optics (1991) / 295
`
`4
`
`

`

`160.00
`
`120.00
`
`0.00
`
`2.00
`
`4.00
`
`6
`5.00
`
`8.00
`
`10.00
`
`12.00
`
`14.00
`
`Camera Field Angle (deg)
`(deg) 0.00
`ObjectFieldAngle
`
`
`angular
`The
`3:
`Figure
`distortion (solid line) of the
`simple all-sky camera using
`a
`convex
`spherical mirror with
`radius of curvature R=0,286 m.
`The 35 mm camera with a 50
`mm
`lens
`is placed 1m above’
`the
`mirror.
`The
`paraaxial
`equation §&. with M=8 is’
`drawn
`doted.
`
`of
`geometry
`4:
`Figure
`aspherical mirror
`used in an
`all-sky camera. For
`ease
`in
`analysis
`the
`ray paths
`are
`reversed,
`and we
`trace
`rays
`from the camera lens, situated
`at point T,
`to the mirror and,
`after the reflection,
`into the
`infinity.
`
`at
`light ray goes from the point T situated on the y-axis
`The
`at
`height d above the mirror vertex , and travels toward the mirror
`angle
`a
`to the y-axis.
`It is reflected from the mirror
`at
`point
`are
`A(x,y)
`toward
`the sky, at angle BB to the y axis. Both
`angles
`defined
`to be positive as indicated on the picture.
`The
`mirror |
`surface
`is defined by the equation of the generating curve
`y=f(x),
`and
`the actual mirror surface will be generated by the rotation of
`the
`this
`curve around the y-axis. The ray path is reversed to make
`derivation of
`the generating curve easier.
`From the triangle ABT is easily found that
`
`B=2 6-0
`
`and from the triangle ACT
`
`§=ato
`
`(6)
`
`(7)
`
`to the curve y=f(x) at point A can be
`the normal
`The slope of
`by using analytical geometry to be
`
`found
`
`tan(o)=-1/(d(f(x))/dx)a
`
`(8)
`
`296 / SPIE Vol. 1500 Innovative Optics and Phase Conjugate Optics (1997)
`
`Downloaded From:https:/Awww.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`5
`
`

`

`From the triangle COD, ¢=90°-o and
`
`tan(¢ )=1/tan(o)=-(d(f(x))/dx)
`
`(9)
`
`is
`it
`the point A, we note that
`find the coordinates (x,y) of
`To
`common to the ray and to the mirror surface. By combining
`equations
`of
`the ray and of
`the surface we find that
`
`f (x )=-x/tan(a)+d
`
`(10)
`
`then
`to have a constant angular magnification,
`If we want
`angles q@ right to the edge of the camera FOV it must be
`
`for
`
`all
`
`B=M*a
`
`By combining eq. 6, 7,
`
`9 and 11 it is found that
`
`d( f(x) )/dx=-tan(a*(M-1)/2)
`
`(11)
`
`(12)
`
`eliminated by using eq.
`be
`can
`@
`equation for the function f(x):
`
`10 to obtain the differential
`
`d(f(x))/dx=-tan(N*atan(x/(d-f(x))))
`
`(13)
`
`N = (M-1)/2
`
`to the boundary condition y=0 for x=0O (see Fig. 4.). It
`subject
`also obvious that the curve f(x) is symmetrical with respect
`to
`y-axis.
`inverse
`and
`very small angles we can approximate tangent
`For
`tangent functions with the angels themselves. Also,
`in such a case y
`is much smaller than d, so it can be neglected in the denominator at
`the right side of eq. 13. The result of
`these approximations is’
`the
`equation
`
`is
`the
`
`fo(x)=-Nx7/2
`
`(14)
`
`If we calculate the radius of
`which is a parabola.
`this parabola at its vertex we get
`
`the curvature
`
`of
`
`Ro=2*d/(M-1)
`
`(15)
`
`have
`
`found
`
`from’
`
`simple
`
`paraaxial
`
`exactly what we
`is
`which
`considerations (see eq. 3).
`center
`It should be said here that the distance from the image
`to the image point at an angle
`from the axis is actually f*tan(a)
`and
`not
`f¥*q,
`so the distances measured on the film will
`not
`be
`strictly proportional
`to the field angle
`in object space. However,
`if we
`use
`normal, or even better, a telephoto camera
`lens,
`the
`difference is small. For
`instance,
`for 35 mm camera with a normal 50
`mm lens the error at
`the edge of
`the field is about
`1%, and for’
`the
`135 mm telephoto it is under 0.2%. And, as the lens itself can
`have
`residual distortion of
`the same order of magnitude,
`there
`no
`
`Downloaded From:https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`SPIE Vol. 1500 Innovative Optics and Phase Conjugate Optics (1991) / 297
`
`is
`
`6
`
`

`

`the
`insisting on strict linear proportionality between’
`in
`point
`object field angle and the distance of object
`image from the
`center
`of the image.
`done
`The
`raytracing of mirrors discussed in this article was.
`with a simple, custom written computer program which was able to use
`tabulated curve coordinates obtained from numerical
`integration of
`eq.
`13. This has resulted in slight waviness of
`some of
`the
`curves
`on
`raytrace graphs. This is caused by
`numerical
`inaccuracies
`in
`calculated slopes of mirror surface elements and not by the mirror
`surface itself.
`
`3. NUMERICAL INTEGRATION OF THE SURFACE EQUATION
`
`several
`integrated for
`numerically
`13. was
`equation
`The
`used
`film
`magnifications, M, chosen to describe the most commonly
`sizes and lens focal
`lengths. The magnifications and lens parameters
`are listed in Table 1.
`
`lengths and magnifications (M) used in numerical
`lens focal
`Table 1:
`integrations
`of eq. 13. Field semi-angles are calculated from the
`eq. 1. with r defined on the Fig.
`1.
`
`lens F.L.
`
`FOV (semi-angle)
`
`M
`
`24x36 mm film size (r=10 mm)
`
`35 mm
`50 mm
`100 mm
`135 mm
`
`80 mm
`180 mm
`
`160
`3
`11
`5.75
`4.2
`
`6x9 film size (r=22 mm)
`160
`7
`
`6
`8
`16
`ee
`
`6
`13
`
`normalized
`The distance between the camera and the mirror was
`to d=1,
`and
`the
`numerical
`integration was
`performed only
`for
`positive
`x,
`as
`the mirror
`surface
`is
`axially symmetric.
`The
`necessary size of
`the mirror (maximal x)
`for field semi-angle of 90
`was determined by raytracing. The results are tabulated in the Table
`2. at
`the end of this paper.
`5,
`the Fig.
`The mirror
`shape
`for the case M=8 is shown on
`compared to the sphere with radius of curvature calculated from eq.
`3,
`and shapes and sizes for various magnifications are compared
`on
`the Fig. 6. The effect of changing the distance d between the camera
`and the mirror is illustrated on the Fig. 7. As it can be seen,
`the
`
`298 / SPIE Vol. 1500 Innovative Optics and Phase Conjugate Optics (1991)
`
`Downloaded From:https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use: https://Awww.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`7
`
`

`

`main and_theeffect of changing the distance between the camera
`
`
`
`
`mirror
`is
`change in the image size and magnification M,
`but
`the
`linearity of
`the combination is not
`impaired much. This means’
`that
`the distance between the camera and the mirror is not critical,
`and
`that, what
`is more important,
`the mirror will work well with all
`lenses
`of reasonably similar FOV and thus of similar focal
`lengths
`(recall that M is determined by the FOV of
`the camera lens).
`
` 0.05
`
`0.00
`
`-0.05
`
`oO
`= -0.10
`3
`
`q -9.15
`2
`© -0.20
`g
`"0.25
`as
`
`-0.30
`
`-0.35
`0.00
`
`0.30
`;
`0.20
`0.10
`X (relative units)
`
`0.40
`
`<2
`
`16
`
`13
`
`lo
`
`sf
`
`e
`
`0.00
`
`-0.10
`
`@
`°c
`oJ
`
`q —9.20
`=
`3S
`e
`~~-0.30
`>
`
`-0.40 4
`0.00
`
`0.30
`.
`0.20
`0.10
`X (relative units)
`
`0.40
`
`of
`
`of
`Figure 6: shapes and sizes
`the
`The shape
`5:
`Figure
`aspherical mirrors for various
`M=8
`aspherical mirror
`for
`
`
`(solid line) compared to_the M and FOV of 180°. Mirrors for
`spherical mirror
`(doted line)
`all magnifications,
`indicated
`which
`produces
`the
`same
`under the corresponding curve,
`paraaxial
`angular
`are
`truncated at
`the points
`magnification.
`which correspond to the’
`semi-
`-field of view of 90°.
`
`to
`approximate parabolic equation is actually very close
`The
`the
`surface shape as is illustrated on the Fig.
`8.
`for
`real
`the
`magnification M=8, and parabolic mirror can be used for field angles
`up
`to around
`60
`if we can accept
`a
`small
`level
`of
`angular
`distortion. The results of raytracing the parabolic mirror from Fig.
`8. are shown on the Fig. 9.
`
`Downloaded From:https:/Awww.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use: https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`SPIE Vol. 1500 Innovative Optics and Phase Conjugate Optics (1991) / 299
`
`8
`
`

`

`oO
`
`100.00
`
`—
`2° 80.00
`ZS
`°
`& 60.00
`c
`<—f
`
`2 40.00
`@.
`40:
`iL
`Fer
`Oo
`vo 20.00
`Oo
`
`0.05.00
`
`12.00
`8.00
`4.00
`Camera Field Angle (deg)
`
`16.00
`
`0.05
`
`0.00
`
`—~
`2 -0.05
`=
`q —0.10
`oe
`0
`2
`o -0.15
`——
`
`a -0,20
`
`70.2800
`
`0.30
`.
`0.20
`0.10
`X (relative units)
`
`0.40
`
`changing
`7: effect of
`Figure
`the
`separation between
`the
`camera
`and
`the
`aspherical
`mirror.
`The
`mirror
`is
`calculated for M = 8 and d=1.
`
`shape
`the parabolic’
`Figure 8:
`(solid line ) as approximation
`to the calculated aspherical
`shape (dashed) for M=8.
`
`4. CONCLUSION
`
`camera
`angle
`that it is possible to make a very wide
`see
`We
`field
`constant angular magnification right to the edge of the
`with
`field
`view by using an aspherical convex mirror. The ultimate
`of
`the
`by
`angle
`can be much greater than 180°, as it is limited only
`to
`angular
`size of
`the mirror image itself, which is roughly equal
`the circular
`field of view of the camera alone.
`By
`using
`large
`angular magnification of the mirror-camera system,
`this image can be
`quite
`small
`and total FOV of more than 340°
`can
`be obtained.
`An
`example of such a mirror is shown on the Fig. 10. The price paid for
`this is large distance between the camera and the mirror as large
`M
`implies
`use of
`long focal
`length camera lenses,
`to keep camera
`FOV
`small.
`
`300 / SPIE Vol. 1500 Innovative Optics and Phase Conjugate Optics (1 991)
`
`DownloadedFrom: https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use:https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)
`
`9
`
`

`

`0.04 3° 80.00
`
`ti
`8
`oO 20.00
`O
`
`2o
`
`0.00
`0.00
`
`12.00
`8.00
`_
`4.00
`Camera Field Angle (deg)
`
`16.00
`
`100.00
`
`ee
`
`i»
`ey 90.00
`a=
`0
`
`40.00
`
`ae
`
`me
`£~0.04
`=
`=
`q —0.08
`2
`Oo
`@ -0.12
`——
`> org
`
`-0.20
`0.00
`
`0.15
`0.10
`0.05
`X (relative units)
`
`0.20
`
`of
`results
`9Q:
`Figure
`parabolical
`the
`raytracing
`from fig 8.
`mirror
`(solid)
`the
`exact
`compared
`to
`solution of eq. 13.
`(dashed).
`
`Figure 10: example of extremely
`wide
`field mirror with M=50
`and FOV
`of
`340°.
`The
`camera
`is placed at y=1.
`
`be
`itself will
`in mind that camera
`should be kept
`it
`Also,
`imaged in the center of the image’ together with its support
`system,
`so the center of
`the field will be screened by the camera. And last,
`but
`not
`least,
`no
`attempt was made
`to analyze other
`image
`aberrations, as no adequate raytracing program was obtainable to me.
`At
`the moment
`I can not tell if such large angular fields will
`be
`needed, but
`the possibility is here. On
`the
`other’
`side,
`ever
`possibility to have a simple 180°
`FOV system is quite appealing
`for
`astronomical
`and meteorological applications.
`If
`the
`aspherical
`mirror is made in series it can be very cheap, as it can be produced
`in many simple ways,
`for instance as a polished sheet metal pressing
`(stainless
`steel or aluminum) or aluminized plastic. Such a mirror
`will
`be
`light
`and
`transportable
`and
`could
`be
`brought
`almost
`everywhere where the normal camera itself can be brought.
`to amateur
`In my opinion such a mirror will be of
`interest
`fields
`of
`astronomers, who make important contributions in those
`and where
`astronomy where a simple instrumentation is sufficient,
`many observers
`are
`required,
`as is the
`case
`in
`the mentioned
`photographic meteor patrols etc. Also, all who love nature
`could
`carry such
`a mirror with them to
`photograph
`rare
`atmospheric
`phenomena,
`if they got a chance to do so. And they are going
`almost
`everywhere and at anytime.
`
`DownloadedFrom: https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie on 28 Dec 2022
`(cid:39)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:17)(cid:82)(cid:85)(cid:74)(cid:18)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:73)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:70)(cid:72)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:16)(cid:82)(cid:73)(cid:16)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:70)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:21)(cid:21)
`Termsof Use:https://www.spiedigitallibrary.org/terms-of-use
`(cid:55)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:72)(cid:29)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:86)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:74)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid: